Question

（2009•聊城一模）過點(diǎn)P（1，0）作曲線C：y=x^k（x∈（0，+∞），k∈N^*，k＞1）的切線，切點(diǎn)為M₁，設(shè)M₁在x軸上的投影是點(diǎn)P₁；又過點(diǎn)P₁作曲線C的切線，切點(diǎn)為M₂，設(shè)M₂在x軸上的投影是點(diǎn)P₂；…；依此下去，得到一系列點(diǎn)M₁，M₂，…M_n，…；設(shè)它們的橫坐標(biāo)a₁，a₂，…，
a_n…構(gòu)成數(shù)列為{a_n}．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：an≥1+

n

k-1

；
（Ⅲ）當(dāng)k=2時(shí)，令bn=

n

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對y=x^k求導(dǎo)數(shù)，得y′=kx^k-1，切點(diǎn)是M_n（a_n，a_n^k）的切線方程是y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．當(dāng)n=1時(shí)，a1=

k

k-1

；當(dāng)n＞1時(shí)，得

an

an-1

=

k

k-1

．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（ II）應(yīng)用二項(xiàng)式定理，得an=(

k

k-1

)n=(1+

1

k-1

)n=

C

0 n

+

C

1 n

1

k-1

+

C

2 n

(

1

k-1

)2+…+

C

n n

(

1

k-1

)n≥1+

n

k-1

．
（ III）當(dāng)k=2時(shí)，a_n=2ⁿ，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，利用錯(cuò)位相減法能夠得到S_n=2-

n+2

2n

．

解答：解：（Ⅰ）對y=x^k求導(dǎo)數(shù)，
得y′=kx^k-1，
點(diǎn)是M_n（a_n，a_n^k）的切線方程是y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．…（2分）
當(dāng)n=1時(shí)，切線過點(diǎn)P（1，0），
即0-a₁^k=ka₁^k-1（1-a₁），
得a1=

k

k-1

；
當(dāng)n＞1時(shí)，切線過點(diǎn)P_n-1（a_n-1，0），
即0-a_n^k=ka_n^k-1（a_n-1-a_n），
得

an

an-1

=

k

k-1

．
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a1=

k

k-1

，公比為

k

k-1

的等比數(shù)列，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=(

k

k-1

)n，n∈N*．…（4分）
（ II）應(yīng)用二項(xiàng)式定理，得an=(

k

k-1

)n=(1+

1

k-1

)n=

C

0 n

+

C

1 n

1

k-1

+

C

2 n

(

1

k-1

)2+…+

C

n n

(

1

k-1

)n≥1+

n

k-1

．…（8分）
（ III）當(dāng)k=2時(shí)，a_n=2ⁿ，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
同乘以

1

2

，得

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，
兩式相減，…（10分）
得

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
所以S_n=2-

n+2

2n

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，證明an≥1+

n

k-1

，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的靈活運(yùn)用，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．