Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=2，na_n+1=S_n+

n(n+1)

3

．從{a_n}中抽出部分項(xiàng)a_k1，a_k2，…，a_kn，…，（k₁＜k₂＜…＜k_n＜…）組成的數(shù)列{a_kn}是等比數(shù)列，設(shè)該等比數(shù)列的公比為2，其中k₁=1，n∈N^*．
（Ⅰ）求證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求a_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n（k_n+2）}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）首先利用遞推關(guān)系式證明數(shù)列an+1-an=

2

3

滿足等差數(shù)列．
（Ⅱ）利用上部結(jié)論得到an=

2n

3

+

4

3

，進(jìn)一步求出kn=3•2n-1-2，最后利用乘公比錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和．

解答： 證明：（Ⅰ）由已知條件知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=2，na_n+1=S_n+

n(n+1)

3

①．
則：(n-1)an=Sn-1+

n(n-1)

3

②
所以：①-②得：nan+1-nan=

2n

3

解得：an+1-an=

2

3

所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
解：（Ⅱ）由于an+1-an=

2

3

an=2+

2

3

(n-1)=

2n

3

+

4

3

從{a_n}中抽出部分項(xiàng)a_k1，a_k2，…，a_kn，…，組成的數(shù)列{a_kn}是等比數(shù)列，
設(shè)該等比數(shù)列的公比為2，其中k₁=1
所以：an=2•2n-1
由于在某一項(xiàng)是對(duì)應(yīng)相等
所以：

2m

3

+

4

3

=2•2n-1
解得：m=3•2^n-1-2
即：kn=3•2n-1-2
設(shè)c_n=a_n•（k_n+2）=（n+2）2ⁿ
T_n=c₁+c₂+…+c_n
T_n=3•2¹+4•2²+…+（n+1）2^n-1+（n+2）2ⁿ①
2Tn=3•22+…+(n+1)2n+（n+2）2ⁿ⁺¹②
所以：①-②得：
Tn=(n+2)2n+1-2n+1-2+4
即：Tn=(n+1)2n+1-2n+1+2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，乘公比錯(cuò)位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．