Question

在直角坐標系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，

曲線C的參數(shù)方程為 ．

（Ⅰ）已知在極坐標（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為（4，），判斷點P與直線l的位置關(guān)系；

（Ⅱ）設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最值．

（Ⅲ）請問是否存在直線m ， m∥l且m與曲線C的交點A、B滿足；

若存在請求出滿足題意的所有直線方程，若不存在請說明理由。

 

Answer 1

（Ⅰ）點P在直線上（Ⅱ）當(dāng)時，d取得最小值，且最小值為

當(dāng)時，d取得最大值，且最大值為3

（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）把曲線C的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為曲線C的普通方程，再把點P的極坐標轉(zhuǎn)化為普通坐標，由此能判斷點P與直線l的位置關(guān)系．

（Ⅱ）由Q在曲線C上知Q到直線l：x-y+4=0的距離，由此能求出Q到直線l的距離的最小值．

（Ⅲ）設(shè)出平行線m方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合弦長公式以及點到直線的距離公式即可。

試題解析：（Ⅰ）把極坐標系下的點化為直角坐標，得P（0，4）。 2分

因為點P的直角坐標（0，4）滿足直線的方程， 所以點P在直線上. 4分

（Ⅱ）因為點Q在曲線C上，故可設(shè)點Q的坐標為 5分

從而點Q到直線的距離為

6分

由此得，當(dāng)時，d取得最小值，且最小值為

當(dāng)時，d取得最大值，且最大值為3 8分

（Ⅲ）設(shè)平行線m方程：x-y+n = 0 9分

設(shè)O到直線m的距離為d，則 10分

經(jīng)驗證均滿足題意 ，所以滿足題意直線m有4條，方程為： 12分

考點：簡單曲線的極坐標方程；直線與圓錐曲線的關(guān)系；參數(shù)方程化成普通方程．