Question

已知函數(shù)f（x）=b•a^x（a，b為常數(shù)且a＞0，a≠1）的圖象經過點A（1，8），B（3，32）
（1）試求a，b的值；
（2）若不等式（

1

a

）^x+（

1

b

）^x-m≥0在x∈（-∞，1]時恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=b•a^x，（其中a，b為常數(shù)且a＞0，a≠1）的圖象經過點A（1，8），B（3，32），知

a•b=8 a3•b=32

，由此能求出f（x）．
（2）設g（x）=（

1

a

）^x+（

1

b

）^x=（

1

2

）^x+（

1

4

）^x，
則y=g（x）在R上是減函數(shù)，故當x≤1時，g（x）_min=g（1）=

3

4

．由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=b•a^x，（其中a，b為常數(shù)且a＞0，a≠1）的圖象經過點A（1，8），B（3，32），
∴

a•b=8 a3•b=32

，
解得a=2，b=4，
∴f（x）=4•（2）^x=2^x+2，
（2）設g（x）=（

1

a

）^x+（

1

b

）^x=（

1

2

）^x+（

1

4

）^x，
y=g（x）在R上是減函數(shù)，
∴當x≤1時，g（x）_min=g（1）=

3

4

．
若不等式（

1

a

）^x+（

1

b

）^x-m≥0在x∈（-∞，1]時恒成立，
即m≤

3

4

點評：本題考查函數(shù)解析式的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．