Question

在等比數列{a_n}中，公比q＞1，且a₃-a₄+a₅=24，a₁+a₄=18．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b_n=

2n-1

(an+1)(an+1+1)

，S_n為數列{b_n}的前n項和，證明：

1

15

≤S_n＜

1

6

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用待定系數法可求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用裂項法求出S_n，即可得出結論．

解答： （1）解：由a₃-a₄+a₅=24，a₁+a₄=18得：a₁q²-a₁q³+a₁q⁴=24，a₁+a₁q³=18，
∴q=2，a₁=2，
∴a_n=2ⁿ；
（2）證明：b_n=

2n-1

(an+1)(an+1+1)

=

2n-1

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)，
∴S_n=

1

2

(

1

3

-

1

2n+1+1

)．
∵0＜

1

2n+1+1

≤

1

5

，
∴

1

15

≤S_n＜

1

6

．

點評：本題考查等比數列的通項，考查數列的求和，考查數列與不等式的綜合，屬于中檔題．