Question

已知正項數(shù)列{a_n}和{b_n}中，a₁=a（0＜a＜1），b₁=1-a．當n≥2時，a_n=a_n-1b_n，b_n=

bn-a

1-a2n-1

．
（1）證明：對任意n∈N^*，有a_n+b_n=1；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）直接利用數(shù)學歸納法的證明方法，驗證n=1時命題成立，然后假設n=k時命題成立，證明n=k+1時命題也成立即可．
（2）利用已知和（1）的結(jié)果，化簡a_n+1=a_nb_n+1推出

1

an_+1

-

1

an

=1．然后說明數(shù)列{

1

an

}是公差為1的等差數(shù)列，其首項為

1

a1

=

1

a

，求出數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）證明：用數(shù)學歸納法證明．
①當n=1時，a₁+b₁=a+（1-a）=1，命題成立；
②假設n=k（k≥1且k∈N^*）時命題成立，即a_k+b_k=1，則當n=k+1時，a_k+1+b_k+1=a_kb_k+1+b_k+1=（a_k+1）•b_k+1=（a_k+1）•

bk

1- a 2 k

=

bk

1-ak

=

bk

bk

=1．
∴當n=k+1時，命題也成立．
由①、②可知，a_n+b_n=1對n∈N^*恒成立．
（2）∵a_n+1=a_nb_n+1=

anbn

1- a 2 n

=

an(1-an)

1- a 2 n

=

an

1+an

，
∴

1

an+1

=

1+an

an

=

1

an

+1，
即

1

an+1

-

1

an

=1．
數(shù)列{

1

an

}是公差為1的等差數(shù)列，其首項為

1

a1

=

1

a

，

1

an

=

1

a

+（n-1）×1，從而a_n=

a

1+(n-1)a

．

點評：本題是基礎題，考查數(shù)學歸納法的證明方法，注意n=k+1的證明過程，增加了2k個區(qū)域，這是證明的關鍵所在，兩個步驟缺一不可．注意（2）的裂項法的應用．