Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距為2

3

，離心率為

2

2

，其右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)B（0，b）作直線(xiàn)交橢圓于另一點(diǎn)A．
（Ⅰ）若

AB

•

BF

=-6，求△ABF外接圓的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)M（2，0）的直線(xiàn)與橢圓N：

x2

a2

+

y2

b2

=

1

3

相交于兩點(diǎn)G、H，設(shè)P為N上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足

OG

+

OH

=t

OP

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|

PG

-

PH

|＜

2 5

3

時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）由題意知：c=

3

，e=

c

a

=

2

2

，又a²-b²=c²，
解得：a=

6

，b=

3

，∴橢圓C的方程為：

x2

6

+

y2

3

=1．…（2分）
可得：B(0，

3

)，F(

3

，0)，設(shè)A（x₀，y₀），則

AB

=(-x0，

3

-y0)，

BF

=(

3

，-

3

)，
∵

AB

•

BF

=-6，∴-

3

x0-

3

(

3

-y0)=-6，即y0=x0-

3

．
由

x02 6 + y02 3 =1 y0=x0- 3

?

x0=0 y0=- 3

，或

x0= 4 3 3 y0= 3 3

，
即A(0，-

3

)，或A(

4 3

3

，

3

3

)…（4分）
①當(dāng)A的坐標(biāo)為(0，-

3

)時(shí)，|OA|=|OB|=|OF|=

3

，
∴△ABF外接圓是以O(shè)為圓心，

3

為半徑的圓，即x²+y²=3．…（5分）
②當(dāng)A的坐標(biāo)為(

4 3

3

，

3

3

)時(shí)，k_AF=1，k_BF=-1，所以△ABF為直角三角形，其外接圓是以線(xiàn)段AB為直徑的圓，
圓心坐標(biāo)為(

2 3

3

，

2 3

3

)，半徑為

1

2

|AB|=

15

3

，
∴△ABF外接圓的方程為(x-

2 3

3

)2+(y-

2 3

3

)2=

5

3

．
綜上可知：△ABF外接圓方程是x²+y²=3，或(x-

2 3

3

)2+(y-

2 3

3

)2=

5

3

．…（7分）
（Ⅱ）由以上可得，橢圓N：即

x2

6

+

y2

3

=

1

3

，即

x2

2

+y2 =1．
由題意可知直線(xiàn)GH的斜率存在，設(shè)GH：y=k（x-2），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），P（x，y），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0得：k2＜

1

2

（*）． …（9分）
由于 x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，∵|

PG

-

PH

|＜

2 5

3

，
∴|

HG

|＜

2 5

3

，即

1+k2

|x1-x2|＜

2 5

3

，∴(1+k2)[

64k4

(1+2k2)2

-4×

8k2-2

1+2k2

]＜

20

9

，
∴k2＞

1

4

，再結(jié)合（*）得：

1

4

＜k2＜

1

2

．…（11分）
∵

OG

+

OH

=t

OP

，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y）
從而x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，y=

y1+y2

t

=

1

t

[k(x1+x2)-4k]=

-4k

t(1+2k2)

．
∵點(diǎn)P在橢圓上，∴[

8k2

t(1+2k2)

]2+2[

-4k

t(1+2k2)

]2=2，整理得：16k²=t²（1+2k²），
即t2=8-

8

1+2k2

，∴-2＜t＜-

2 6

3

，或

2 6

3

＜t＜2，
即實(shí)數(shù)t的取值范圍為 （-2，-

2 6

3

∪（

2 6

3

，2）．…（13分）