Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga （a＞0，a≠1）．
（1）當(dāng)a＞1時(shí)，討論f（x）的奇偶性，并證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)x∈（n，a﹣2）時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)a和n，使得函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，+∞），若存在，求出實(shí)數(shù)a與n的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域?yàn)閧x|x＜﹣1或x＞1}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

又f（﹣x）= ，∴f（x）為奇函數(shù)，

證明：當(dāng)a＞1時(shí)，設(shè)1＜x1＜x2，則

f（x1）﹣f（x2）= = ，

∵ = ，

∴ ＞1，又a＞1，∴l(xiāng)oga ＞0，則f（x1）＞f（x2），

∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)

（2）解：令 = ，x∈（n，a﹣2），

①當(dāng)a＞1時(shí)，要使f（x）的值域?yàn)椋?，+∞），則須t∈（a，+∞），

令 ，解得 ．∴x∈（1， ）．

故有 ，解得 ；

②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，t∈（0，a），則x∈（ ），∴ ，（不合題意）．

綜上所述，存在實(shí)數(shù)n=1，a= ，當(dāng)x∈（n，a﹣2）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，+∞）

【解析】（1）直接利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的定義判斷；（2）令 = ，x∈（n，a﹣2），當(dāng)a＞1時(shí)，要使f（x）的值域?yàn)椋?，+∞），則須t∈（a，+∞），令 ，解得 ．可得x∈（1， ）．則 ，解得 ；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，t∈（0，a），則x∈（ ），得 ，（不合題意）．由此可得存在實(shí)數(shù)n=1，a= ，當(dāng)x∈（n，a﹣2）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，+∞）．
【考點(diǎn)精析】掌握奇偶性與單調(diào)性的綜合是解答本題的根本，需要知道奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．