Question

已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0；f（3）=-1．
（1）求f（9）；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）在我們所學(xué)的函數(shù)中寫出一個(gè)符合條件的函數(shù)，在此條件下解不等式：f（x-2）＞1-f（

1

4-x

）．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法結(jié)合條件即可求f（9）；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）根據(jù)條件確定滿足條件的函數(shù)解不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（3）=-1．
∴f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=2f（3）=-2；
（2）遞減函數(shù)；取0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，則f（

x2

x1

）＜0，
又∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

•x₁）-f（x₁）=f（

x2

x1

•）+f（x₁）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞減．
（3）∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（1）=0，且函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)遞減，
則滿足此條件的函數(shù)為單調(diào)遞減的對(duì)稱函數(shù)，
不妨設(shè)f（x）=log

1

3

x，
則不等式f（x-2）＞1-f（

1

4-x

）等價(jià)為f（x-2）+f（

1

4-x

）＞1．
即f[（x-2）（

1

4-x

）]＞1，
即f[（x-2）（

1

4-x

）]＞f（

1

3

），
則等價(jià)為

x-2＞0 1 4-x ＞0 (x-2)• 1 4-x ＜ 1 3

，
即

x＞2 x＜4 3(x-2)＜4-x

，解得2＜x＜

5

2

．
即此時(shí)不等式的解集為（2，

5

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)是應(yīng)用．