Question

點M是橢圓上的點，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點F，圓M與y軸相交于P，Q，若△PQM是鈍角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由圓M與X軸相切與焦點F，設(shè)M（c，y），則y=或，所以圓的半徑為，過M作MN⊥Y軸與N，則PN=NQ，MN=c，PN=NQ=，由∠PQM為鈍角，知，由此能夠求出橢圓離心率的取值范圍．
解答：解：∵圓M與X軸相切與焦點F，
∴不妨設(shè)M（c，y），則（因為相切，則圓心與F的連線必垂直于X軸）
M在橢圓上，則y=或（a²=b²+c²），
∴圓的半徑為，
過M作MN⊥Y軸與N，則PN=NQ，MN=c（PN，NQ均為半徑，則△PQM為等腰三角形）
∴PN=NQ=，
∵∠PQM為鈍角，則∠PMN=∠QMN＞45°
即PN=NQ＞MN=c
所以得＞c，即，
得，
a²-2c²+c²e²＞2c²
-4+e²＞0，
e⁴-4e²+1＞0
（e²-2）²-3＞0
e²-2＜-（0＜e＜1）
e²＜-+2
∴0＜e＜．
故答案為：（0，）．
點評：本題考查橢圓的離心率的取值范圍，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．