Question

【題目】過橢圓E：1（a＞b＞0）上一動點P向圓O：x2+y2＝b2引兩條切線PA，PB，切點分別是A，B．直線AB分別與x軸，y軸交于點M，N（O為坐標原點）．

（1）若在橢圓E上存在點P，滿足PA⊥PB，求橢圓E的離心率的取值范圍；

（2）求證：在橢圓E內(nèi)，存在一點C滿足|CO|＝|CA|＝|CP|＝|CB|；

（3）若橢圓E的短軸長為2，△MON面積的最小值為，求橢圓E的方程．

Answer 1

【答案】（1）[，1）；（2）見解析（3）．

【解析】

（1）由題意可知，又由，得，因為，列出不等式求解即可得到本題答案；

（2）當點C為OP得中點時，由直角三角形的性質(zhì)：斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到點C符合題意；

（3）由題意可知，設(shè)出點P坐標，求出以為直徑的圓的方程，與圓O的方程相減得過切點的直線方程，再求出點的坐標，進而求出，再求出點O到直線MN的距離d，所以，再結(jié)合點P在橢圓上以及基本不等式，得到，從而求得，即可得到本題答案.

（1）∵，∴，

又∵，∴，

∵，∴，∴，

又∵，∴，即，

∴，∴，

∴橢圓E的離心率的取值范圍為：；

（2）證明：當點C為OP的中點時，

∵直線PA與直線PB都和圓O相切，

∴都是直角三角形，

∴，∴，

故在橢圓E內(nèi)，存在一點C滿足；

（3）由題意可知，設(shè)點，

∴以為直徑的圓的方程為，與圓O的方程相減得：，

∴過切點的直線方程為：，

令得，，∴；令得，，∴，

∴，

∵點O到直線MN的距離，

∴，

∵點P在橢圓上，

∴，當且僅當時取等號，

∴，

∴，∴，∴，

∴橢圓E的方程為：．