長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,BC=b,AA1=c,求異面直線BD1和B1C所成角的余弦值.
解析:顯然,通過平移在長方體的表面及內(nèi)部不可能構(gòu)造出一個BD1和B1C所成的角,但同時又為了使構(gòu)造出的角便于計算,故可考慮補上一個與已知長方體相同的長方體DCEF-D1C1E1F1.具體作法是:延長A1D1,使A1D1=D1F1,延長B1C1至E1,使B1C1=C1E1,連E1F1,分別過E1、F1,作E1E ∵BC ∴BD1 ∴∠B1CF1就是異面直線BD1與B1C所成的角. ∵BD2=a2+b2 ∴Rt△BDD1中,BD12=BD2+DD12=a2+b2+c2 ∴CF12=BD12=a2+b2+c2 ∵B1C2=b2+c2,B1F12=a2+4b2 ∴△B1CF1中 cos∠B1CF1= (1)當c>b時,cos∠B1CF1>0 ∴∠B1CF1為銳角,∠B1CF1就是異面直線BD1和B1C所成的角 (1)當c<b時,cos∠B1CF1<0 ∴∠B1CF1是鈍角 ∴π-∠B1CF1就是異面直線BD1和B1C所成的角 (1)當c=b時,∠B1CF1=90° ∴BD1⊥B1C 法二:作異面直線所成角的過程,其實就是平移異面直線的過程.借助于三角形中位線的平行性,也可以達到平移的目的. 如圖,分別取BC、BB1、B1D1的中點P、M、Q,連PM、MQ、PQ 則MP∥B1C,MQ∥BD1 ∴∠PMQ(或其補角)就是異面直線BD1與B1C所成的角 ![]() ![]()
練習冊系列答案
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