長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,BC=b,AA1=c,求異面直線BD1和B1C所成角的余弦值.

答案:
解析:

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        解析:顯然,通過平移在長方體的表面及內(nèi)部不可能構(gòu)造出一個BD1和B1C所成的角,但同時又為了使構(gòu)造出的角便于計算,故可考慮補上一個與已知長方體相同的長方體DCEF-D1C1E1F1.具體作法是:延長A1D1,使A1D1=D1F1,延長B1C1至E1,使B1C1=C1E1,連E1F1,分別過E1、F1,作E1EC1C,F(xiàn)1FD1D,連EF,則長方體C1D1F1E-CDFE為所作長方體.

        ∵BCD1F1

        ∴BD1CF1

        ∴∠B1CF1就是異面直線BD1與B1C所成的角.

        ∵BD2=a2+b2

        ∴Rt△BDD1中,BD12=BD2+DD12=a2+b2+c2

        ∴CF12=BD12=a2+b2+c2

        ∵B1C2=b2+c2,B1F12=a2+4b2

        ∴△B1CF1

        cos∠B1CF1

        (1)當c>b時,cos∠B1CF1>0

        ∴∠B1CF1為銳角,∠B1CF1就是異面直線BD1和B1C所成的角

        (1)當c<b時,cos∠B1CF1<0

        ∴∠B1CF1是鈍角

        ∴π-∠B1CF1就是異面直線BD1和B1C所成的角

        (1)當c=b時,∠B1CF1=90°

        ∴BD1⊥B1C

        法二:作異面直線所成角的過程,其實就是平移異面直線的過程.借助于三角形中位線的平行性,也可以達到平移的目的.

        如圖,分別取BC、BB1、B1D1的中點P、M、Q,連PM、MQ、PQ

        則MP∥B1C,MQ∥BD1

        ∴∠PMQ(或其補角)就是異面直線BD1與B1C所成的角

        
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