如圖所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱AA1的中點．

(1)證明：B1C1⊥CE；
(2)設(shè)點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為.求線段AM的長．

解析試題分析：以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，(1)求出，，于是，所以；
（2）設(shè)，有.因為平面，可取為平面的一個法向量，則與的夾角的余弦值的絕對值即為直線與平面夾角的正弦值，由題目知這個正弦值為，即可列出一關(guān)于的方程，解方程求出的值，最后求出線段的長.
試題解析：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，

依題意得，，，，，
（1）證明：易得，，于是，所以.
（2）,="(1,1,1)." 設(shè),0≤≤1，有
. 因為平面，可取為平面的一個法向量.
設(shè)為直線與平面所成的角，則
==.
于是=，解得，所以.
考點：1.空間中兩直線的位置關(guān)系；（2）用空間向量解決立體幾何問題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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如圖，已知平面，，是正三角形，AD=DEAB，且F是CD的中點．

⑴求證：AF//平面BCE；
⑵求證：平面BCE⊥平面CDE.

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如圖，在三棱柱中，側(cè)面，均為正方形，∠,點是棱的中點.

（Ⅰ）求證：⊥平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

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如圖，已知三棱錐的側(cè)棱、、兩兩垂直，且，，是的中點.

（1）求點到面的距離；
（2）求二面角的正弦值.

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如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點.

（1）若，求證：平面平面；
（2）點在線段上，，若平面平面，且，求二面角的大小.

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已知中，，，為的中點，分別在線段上的動點，且，交于，把沿折起，如下圖所示，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）當(dāng)二面角為直二面角時，是否存在點，使得直線與平面所成的角為，若存在求的長，若不存在說明理由。

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如圖,在梯形中，,，,平面平面,四邊形是矩形,,點在線段EF上.

(1)求異面直線與所成的角；
(2)求二面角的余弦值.

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，，，平面⊥平面，是線段上一點，，．

（Ⅰ）證明：⊥平面；
（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值．

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如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，∥，，平面⊥底面，為的中點，是棱上的點，，，．

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；
（Ⅱ）若為棱的中點，求異面直線與所成角的余弦值.

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