Question

附加題：
設A、B是拋物線C：y²=2px（P＞0）上異于原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當α，β變化且α+β為定值θ（0＜θ＜π）時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標．
（注：實驗班必做，普通班選做）

Answer 1

解：OA的方程為 y=tanα•x，代入拋物線C：y²=2px，解得A（， ），同理求得B（，），
用兩點式求得AB的方程為 =，化簡可得 y=x+，
∵α+β為定值θ，∴tanθ=，∴tanα•tanβ=，
故直線AB的方程為 y=x+- x=（x+2p）- x．
故x=-2p 時，y=，故 直線AB過定點（-2p， ）．
分析：把OA的方程y=tanα•x，代入拋物線C：y²=2px，求得A的坐標，同理求得B的坐標，用兩點式求得AB的方程，利用
α+β為定值θ 化簡為 y=（x+2p）- x，可得過定點（-2p， ）．
點評：本題考查直線和圓的位置關系，直線過定點問題，化簡直線AB的方程為 y=（x+2p）- x，
是解題的關鍵和難點．