已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成一正方形.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求
（為原點(diǎn)）面積的最大值.

（1）(2) 面積的最大值為.

解析試題分析：（1）由已知得，再根據(jù)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入橢圓方程即可.
(2)設(shè)
當(dāng)直線的斜率為時(shí),可得，由，得到
；
當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，將的方程為與橢圓方程聯(lián)立，
整理得，
由, 得到
應(yīng)用韋達(dá)定理，，化簡(jiǎn)得到    
代入，得到；
通過(guò)確定原點(diǎn)到直線的距離為，得到 求其最值.
試題解析：（1）∵橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成正方形，∴， ∴，            2分
又∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入可得，
∴故所求橢圓方程為                 4分
(2)設(shè)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/84/2/1zstk3.png" style="vertical-align:middle;" />的垂直平分線通過(guò)點(diǎn)， 顯然直線有斜率，
當(dāng)直線的斜率為時(shí),則的垂直平分線為軸，此時(shí)
所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ef/b/gqnmc1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值為，      7分
當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，則設(shè)的方程為
所以，代入得到           8分
當(dāng),   即                          
方程有兩個(gè)不同的解又，          10分
所以，又，化簡(jiǎn)得到    
代入，得到              

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、、均在拋物線上.

（1）寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；
（2）當(dāng)與的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值及直線的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，橢圓C0：＝1(a>b>0，a、b為常數(shù))，動(dòng)圓C1：x2＋y2＝，b<t1<a.點(diǎn)A1、A2分別為C0的左、右頂點(diǎn)，C1與C0相交于A、B、C、D四點(diǎn)．

(1)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)設(shè)動(dòng)圓C2：x2＋y2＝與C0相交于A′，B′，C′，D′四點(diǎn)，其中b<t2<a，t1≠t2.若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明：為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－1，1)，P是動(dòng)點(diǎn)，且△POA的三邊所在直線的斜率滿足kOP＋kOA＝kPA.

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)若Q是軌跡C上異于點(diǎn)P的一個(gè)點(diǎn)，且＝λ，直線OP與QA交于點(diǎn)M，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P，使得△PQA和△PAM的面積滿足S△PQA＝2S△PAM？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓C的方程為＋y2＝1，A、B是四條直線x＝±2，y＝±1所圍成的矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)．

(1)設(shè)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，若＝m＋n，求證：動(dòng)點(diǎn)Q(m，n)在定圓上運(yùn)動(dòng)，并求出定圓的方程；
(2)若M、N是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為8，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E：x2＝2py(p>0)上．

(1)求拋物線E的方程；
(2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線y＝－1相交于點(diǎn)Q.證明：以PQ為直徑的圓恒過(guò)y軸上某定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知過(guò)曲線上任意一點(diǎn)作直線的垂線，垂足為,且.
⑴求曲線的方程；
⑵設(shè)、是曲線上兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點(diǎn)F，左、右準(zhǔn)線分別為l1：x＝－m－1，l2：x＝m＋1，且l1、l2分別與直線y＝x相交于A、B兩點(diǎn)．
(1)若離心率為，求橢圓的方程；
(2)當(dāng)·<7時(shí)，求橢圓離心率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

橢圓的離心率是，它被直線截得的弦長(zhǎng)是，求橢圓的方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案