Question

下列說(shuō)法中：
①在△ABC中，若sinA＞sinB，則cosA＜cosB；
②已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，若m+n+p=q（m，n，p，q∈N^*），則有a_m+a_n+a_p=a_q；
③已知數(shù)列{a_n}、{b_n}為等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n+b_n}、{a_n•b_n}也為等比數(shù)列；
④若0＜x＜

π

2

，則函數(shù)f（x）=cos2x-

3

2sin2x

的最大值為1-2

3

；
其中正確的是

 

（填正確說(shuō)法的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：①△ABC中，sinA＞sinB?A＞B，利用y=cosx在（0，π）上單調(diào)遞減的性質(zhì)可判斷①；
②舉例說(shuō)明，令a_n=1，不妨令m=n=p=1，q=3，a_m+a_n+a_p=3≠1=a_q，可判斷②；
③不妨令a_n=1，b_n=-1，則a_n+b_n=0，不是等比數(shù)列，可判斷③
④利用二倍角的余弦與基本不等式可判斷④

解答： 解：①在△ABC中，sinA＞sinB?A＞B，又y=cosx在（0，π）上單調(diào)遞減，故cosA＜cosB，所以①正確；
②數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，若m+n+p=q（m，n，p，q∈N^*），則有a_m+a_n+a_p=a_q，顯然錯(cuò)誤；如a_n=1，不妨令m=n=p=1，q=3，a_m+a_n+a_p=3≠1=a_q；
③數(shù)列{a_n}、{b_n}為等比數(shù)列，不妨令a_n=1，b_n=-1，則a_n+b_n=0，不是等比數(shù)列，故③錯(cuò)誤；
④若0＜x＜

π

2

，則函數(shù)f（x）=cos2x-

3

2sin2x

=1-2sin²x-

3

2sin2x

=1-（2sin²x+

3

2sin2x

）≤1-2

3

（當(dāng)且僅當(dāng)2sin²x=

3

2sin2x

，即sin²x=

3

2

時(shí)取等號(hào)），
即當(dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)，函數(shù)f（x）=cos2x-

3

2sin2x

的最大值為1-2

3

，故④正確．
正確的是①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查正弦定理、余弦函數(shù)的單調(diào)性、二倍角公式及基本不等式的應(yīng)用、等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于難題．