Question

（2010•臺(tái)州二模）已知ABCD為平行四邊形，AB=2，BC=2

2

，∠ABC=45°，BEFC是長(zhǎng)方形，S是EF的中點(diǎn)，BE=

5

，平面BEFC⊥平面ABCD，

（Ⅰ）求證：SA⊥BC；
（Ⅱ）求直線SD與平面BEFC所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）作SM⊥BC于M點(diǎn)，連接MA，因?yàn)镾是EF的中點(diǎn)，所以MB=

2

，由AB=2，∠ABC=45°，知AM⊥BC，由此能夠證明SA⊥BC．
（Ⅱ）作DN⊥BC于N點(diǎn)，連接SN，由平面BEFC⊥平面ABCD，知DN⊥面BEFC，所以∠DSN是SD與面BEFC所成的角，由此能求出直線SD與平面BEFC所成角的正切值．

解答：解：（Ⅰ）作SM⊥BC于M點(diǎn)，連接MA，
∵ABCD為平行四邊形，BEFC是長(zhǎng)方形，BC=2

2

，S是EF的中點(diǎn)，
∴MB=

2

，
∵AB=2，BC=2

2

，∠ABC=45°，
∴AC=

4+8-2×2×2 2 ×sin45°

=2，
∴∠BAC=90°，
∴AM=

1

2

BC=

2

，
∴AM⊥BC，
∴BC⊥面SMA，
∴SA⊥BC…（7分）
（Ⅱ）作DN⊥BC于N點(diǎn)，連接SN，
∵平面BEFC⊥平面ABCD，BE=

5

，
∴DN⊥面BEFC，DN=AM=

2

，SN=

SM2+MN2

=

5+8

=

13

，
∴∠DSN是SD與面BEFC所成的角，
∵DN=

2

，SN=

13

∴tan∠DSN=

DN

SN

=

2

13

=

26

13

，
所以直線SD與平面BEFC所成角的正切值為

26

13

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線互相垂直的證明和直線與平面所成角的正切值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．