(14分)已知定義在R上的函數(shù)對任意都有

，且當(dāng)時，

（1）求證為奇函數(shù)；

（2）判斷在R上的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）若，對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

 

 

【答案】

20.（1）證明：                ①

令x=y=0，代人①式，得，即；-----------(1分)

令，代人①式，得，又，則有

，即對任意成立，---------------(3分)

所以為奇函數(shù)；---------------------------------------------(4分)

（2）解：在R上的單調(diào)遞增，以下用定義證明：

設(shè)任意，且，則，所以--------(5分)

即----------------------(7分)

，在R上的單調(diào)遞增；------------------------(8分)

（3）由（1）（2）可知，是在R上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，

故由可得

--------------------------(9分)

即對任意恒成立。-------(10分)

令，問題等價于對任意恒成立。

令，其對稱軸為，-----------------------(11分)

當(dāng)即時，，符合題意；-------------------(12分)

當(dāng)時，對任意恒成立

解得-------------------------------------------（13分）

綜上所述，

當(dāng)時，，對任意恒成立。--（14分）

（3）解法二：由（1）（2）可知，是在R上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，

故由可得

-----------------------------(9分)

--------------------------------------------- (10分)

即------------------------------------------------ (11分)

，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立

即的最小值為；------------------ (12分)

要使對不等式恒成立，只要使；------ (13分)

即當(dāng)時，，對任意恒成立。(14分)

 

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分14分）已知定義在上的函數(shù)同時滿足：①對任意，都有②當(dāng)時，，試解決下列問題：   （Ⅰ）求在時，的表達(dá)式；（Ⅱ）若關(guān)于的方程在上有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若對任意，關(guān)于的不等式都成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆廣東省珠海市高三第一次月考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

．（本小題滿分14分）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且對任意有．
（Ⅰ）判斷在上的奇偶性，并加以證明．
（Ⅱ）令，，求數(shù)列的通項公式．
（Ⅲ）設(shè)為的前項和，若對恒成立，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年廣東省高三上學(xué)期第三次月考文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)fn(x)=xn，n∈N*，其導(dǎo)函數(shù)記為，且滿足，a，x1，x2為常數(shù),x1≠x2．

(1)試求a的值；

(2)記函數(shù)，x∈（0，e]，若F(x)的最小值為6，求實數(shù)b的值；

(3)對于(2)中的b，設(shè)函數(shù)，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)是函數(shù)g(x)圖象上兩點，若，試判斷x0，x1，x2的大小，并加以證明．

 

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（本題滿分14分）已知定義在R上的函數(shù)，其中a為常數(shù).

（1）若x=1是函數(shù)的一個極值點，求a的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間（－1，0）上是增函數(shù)，求a的取值范圍；

（3）若函數(shù)，在x=0處取得最大值，求正數(shù)a的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆安徽省蚌埠鐵中高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本題滿分14分）已知定義在R上的函數(shù)，其中a為常數(shù).
（1）若x=1是函數(shù)的一個極值點，求a的值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間（－1，0）上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)，在x=0處取得最大值，求正數(shù)a的取值范圍.

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