Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₂=0，a₆+a₈=-10，在數(shù)列{b_n}中，b₁=1，bn=2bn-1(n≥2，n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，根據(jù)題意建立關(guān)于a₁、d的方程組解出a₁、d的值，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合題意算出bn=2n-1，從而得出{

an

bn

}前n項(xiàng)和含有省略號(hào)的表達(dá)式，再利用錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式加以計(jì)算，即可得到數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和Sn=

n

2n-1

．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，可得
∵a₂=0，a₆+a₈=-10，
∴

a1+d=0 2a1+12d=-10

，解之得

a1=1 d=-1.

∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=1+（n-1）×（-1）=2-n．
（2）∵數(shù)列{b_n}中，b₁=1，bn=2bn-1(n≥2，n∈N*)．
∴

bn

bn-1

=2，可得數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
因此，數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為bn=1×2n-1=2n-1．
設(shè)數(shù)列

an

bn

的前n項(xiàng)和為S_n，即Sn=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

，
當(dāng)n≥2時(shí)，

Sn

2

=

a1

2

+

a2

4

+…+

an

2n

．
∴利用錯(cuò)位相減可得：

Sn

2

=a1+

a2-a1

2

+…+

an-an-1

2n-1

-

an

2n

=1-(

1

2

+

1

4

+…+

1

2n-1

-

2-n

2n

)=1-(1-

1

2n-1

)-

2-n

2n

=

n

2n

．
由此可得Sn=

n

2n-1

，n=1時(shí)S₁=1也符合．
綜上所述，數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和是Sn=

n

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出等差、等比數(shù)列滿足的條件，求它們的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和．著重考查了等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法求和和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等知識(shí)，屬于中檔題．