Question

如圖，的大小是大小的k倍，的方向由的方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角得到，則我們稱經(jīng)過(guò)一次（θ，k）延伸得到． 已知
（1）向量經(jīng)過(guò)2次延伸，分別得到向量、，求、的坐標(biāo)．
（2）向量經(jīng)過(guò)n-1次延伸得到的最后一個(gè)向量
為，（n∈N^*，n＞1），設(shè)點(diǎn)A_n（x_n，y_n），求A_n的極限位置
（3）向量經(jīng)過(guò)2次（θ，k）延伸得到向量、，其中k＞0，θ∈（0，π），若、、恰能夠構(gòu)成一個(gè)三角形（即A₃與O重合），求θ，k的值．

Answer 1

解：（1），
（2），，，…
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14134.png' />
所以，
所以，A
（3），
又∵
∴（1+kcosθ+k²cos2θ，ksinθ+k²sin2θ）=（0，0）
∴
解得：k=1，θ=120°
分析：（1）向量經(jīng)過(guò)1次延伸，得到向量 所在有向線段正向與y軸正向相同，且模為，A2（1，），，類(lèi)似的，求出
（2），利用向量運(yùn)算求出表達(dá)式，得出x_n，y_n再求極限．
（3）若、、恰能夠構(gòu)成一個(gè)三角形，即，建立關(guān)于的方程組，再解方程組即可．
點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題目，首先讀懂新定義的實(shí)質(zhì)，轉(zhuǎn)化成我們已有的知識(shí)并解決．本題實(shí)質(zhì)考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，幾何運(yùn)算，極限運(yùn)算，方程的思想．