Question

已知焦點在x軸上的拋物線C過點E(2，2

2

)．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過拋物線C的焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，點M在線段AB上運動，原點O關于點M的對稱點為D，求四邊形OADB的面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設拋物線方程y²=2px，代入已知點的坐標求得p，則拋物線方程可求；
（2）設出直線AB的方程為x=ky+1，聯立直線與拋物線方程，化為關于y的一元二次方程后由根與系數關系求得三角形AOB的面積，由對稱性把四邊形OADB的面積轉化為三角形AOB的面積，則四邊形的面積最小值可求．

解答： 解：（1）依題意設拋物線C的方程為：y²=2px，
∵點E(2，2

2

)在拋物線上，∴(2

2

)2=2p×2
解得p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（2）由（1）知 F（1，0），則可設直線AB的方程為：x=ky+1，
由

x=ky+1 y2=4x

，消去y得：y²-4ky-4=0．
△=（4k）²-4×1×（-4）=16k²+16＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4，S△AOB=

1

2

|OF|•|y1-y2|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

(4k)2+16

=2

k2+1

，
∵點M在線段AB上運動，原點O關于點M的對稱點為D，
∴S_△AOB=S_△ADB，
故S四邊形OADB=2S△AOB=4

k2+1

，
∴當k=0時，S_{四邊形OADB}有最小值4，
∴四邊形OADB的面積的最小值為4．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線的位置關系的應用，直線與曲線聯立，根據方程的根與系數的關系求解，這是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理的能力，是高考試卷中的壓軸題．