[-8,2]
分析:設(shè)直線AB方程為y-2=k(x+1),將它與圓方程消去y得關(guān)于x的方程,由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得x
1+x
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/590121.png)
,x
1x
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/590122.png)
,再結(jié)合直線方程算出y
1y
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/590123.png)
.由此得到
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4796.png)
=x
1x
2+y
1y
2=-6+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/590124.png)
,利用導數(shù)工具討論關(guān)于k的函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可得到
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4796.png)
的取值范圍.
解答:設(shè)直線AB的斜率為k,則直線AB的方程為y-2=k(x+1).
設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),則由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/590125.png)
消去y,
得(1+k
2)x
2+(2k
2+4k)x+k
2+4k-4=0
∴x
1+x
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/590121.png)
,x
1x
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/590122.png)
可得y
1y
2=[k(x
1+1)+2][k(x
2+1)+2]=k
2x
1x
2+(k+2)(x
1+x
2)+(k+2)
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/590123.png)
.
從而有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4796.png)
=x
1x
2+y
1y
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/590122.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/590123.png)
=-6+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/590124.png)
設(shè)F(k)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/590124.png)
,則F'(k)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/590126.png)
=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/590127.png)
∴當k<-2或k>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
時,F(xiàn)'(k)<0;當-2<k<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
時,F(xiàn)'(k)>0
函數(shù)F(k)在(-∞,-2)和(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,+∞)上是減函數(shù),在(-2,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
)上是增函數(shù);
由此可得F(k)的最小值為它的極小值F(-2)=-2,最大值是它的極大值F(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
)=8
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4796.png)
=-6+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/590124.png)
的最小值為-8,最小值為2
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4796.png)
的取值范圍為[-8,2]
故答案為:[-8,2]
點評:本題在直線與圓相交的情況下,求數(shù)量積的取值范圍,著重考查了直線與圓的位置關(guān)系和向量數(shù)量積的運算等知識,屬于中檔題.