已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的中心．橢圓的離心率是拋物線(xiàn)離心率的一半，且它們的準(zhǔn)線(xiàn)互相平行．又拋物線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)M(
2
3
，-
2
6
3
)，求拋物線(xiàn)與橢圓的方程．
分析：設(shè)出拋物線(xiàn)方程，代入M的坐標(biāo)，可得拋物線(xiàn)的方程，利用橢圓的離心率是拋物線(xiàn)離心率的一半，代入M的坐標(biāo)，求得幾何量，即可得到結(jié)論．
解答：解：由題意，設(shè)拋物線(xiàn)的方程為y2=2px（p＞0），則
將M(
2
3
，-
2
6
3
)代入方程可得
8
3
=2p×
2
3
，∴p=2，
∴拋物線(xiàn)的方程為y2=4x
∵橢圓的離心率是拋物線(xiàn)離心率的一半，
∴e=
c
a
=
1
2

∵
4
9
a2
+
8
3
b2
=1，a2=b2+c2
∴a=2，b=
3

∴橢圓方程為：
x2
4
+
y2
3
=1
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•浦東新區(qū)三模）已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的兩倍，其左、右焦點(diǎn)依次為F1、F2，拋物線(xiàn)M：y2=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于F1，橢圓C與拋物線(xiàn)M的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，直線(xiàn)l過(guò)焦點(diǎn)F2，與拋物線(xiàn)M交于A、B兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)|AB|等于△PF1F2的周長(zhǎng)，求直線(xiàn)l的方程；
（3）由拋物線(xiàn)弧y2=4mx(0≤x≤
2m
3
)和橢圓弧
x2
4m2
+
y2
3m2
=1(
2m
3
≤x≤2m)
（m＞0）合成的曲線(xiàn)叫“拋橢圓”，是否存在以原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)A1、A2落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA1A2，若存在，求出兩直角邊所在直線(xiàn)的斜率；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本題滿(mǎn)分18分）第一題滿(mǎn)分4分，第二題滿(mǎn)分6分，第三題滿(mǎn)分8分．

已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的兩倍，其左、右焦點(diǎn)依次為、，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于，橢圓與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為.

（1）當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程；

（2）在（1）的條件下，直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)，與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，求直線(xiàn)的方程；

（3）由拋物線(xiàn)弧和橢圓弧

（）合成的曲線(xiàn)叫“拋橢圓”,是否存在以原點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形，若存在，求出兩直角邊所在直線(xiàn)的斜率；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本題滿(mǎn)分18分）第一題滿(mǎn)分4分，第二題滿(mǎn)分6分，第三題滿(mǎn)分8分．

已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的兩倍，其左、右焦點(diǎn)依次為、，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于，橢圓與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為.

（1）當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程；

（2）在（1）的條件下，直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)，與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，求直線(xiàn)的方程；

（3）由拋物線(xiàn)弧和橢圓弧

（）合成的曲線(xiàn)叫“拋橢圓”,是否存在以原點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形，若存在，求出兩直角邊所在直線(xiàn)的斜率；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的兩倍，其左、右焦點(diǎn)依次為F1、F2，拋物線(xiàn)M：y2=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于F1，橢圓C與拋物線(xiàn)M的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，直線(xiàn)l過(guò)焦點(diǎn)F2，與拋物線(xiàn)M交于A、B兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)|AB|等于△PF1F2的周長(zhǎng)，求直線(xiàn)l的方程；
（3）由拋物線(xiàn)弧y2=4mx和橢圓弧
（m＞0）合成的曲線(xiàn)叫“拋橢圓”，是否存在以原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)A1、A2落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA1A2，若存在，求出兩直角邊所在直線(xiàn)的斜率；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的兩倍，其左、右焦點(diǎn)依次為F1、F2，拋物線(xiàn)M：y2=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于F1，橢圓C與拋物線(xiàn)M的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，直線(xiàn)l過(guò)焦點(diǎn)F2，與拋物線(xiàn)M交于A、B兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)|AB|等于△PF1F2的周長(zhǎng)，求直線(xiàn)l的方程；
（3）由拋物線(xiàn)弧y2=4mx和橢圓弧
（m＞0）合成的曲線(xiàn)叫“拋橢圓”，是否存在以原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)A1、A2落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA1A2，若存在，求出兩直角邊所在直線(xiàn)的斜率；若不存在，說(shuō)明理由．

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