已知函數(shù)f(x)=ex,x∈R.
(Ⅰ) 若直線y=kx+1與f (x)的反函數(shù)的圖象相切,求實數(shù)k的值;
(Ⅱ) 設x>0,討論曲線y=f (x) 與曲線y=mx2(m>0)公共點的個數(shù).
(Ⅲ) 設a<b,比較的大小,并說明理由.
【答案】分析:(I)先求出其反函數(shù),利用導數(shù)得出切線的斜率即可;
(II)由f(x)=mx2,令h(x)=,利用導數(shù)研究函數(shù)h(x)的單調(diào)性即可得出;
(III)利用作差法得 ===,令g(x)=x+2+(x-2)ex(x>0),利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可證明.
解答:解:(I)函數(shù)f(x)=ex的反函數(shù)為g(x)=lnx,∴
設直線y=kx+1與g(x)的圖象相切于點P(x,y),則,解得,k=e-2,
∴k=e-2
(II)當x>0,m>0時,令f(x)=mx2,化為m=,
令h(x)=,則
則x∈(0,2)時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;x∈(2,+∞)時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
∴當x=2時,h(x)取得極小值即最小值,
∴當時,曲線y=f (x) 與曲線y=mx2(m>0)公共點的個數(shù)為0;
時,曲線y=f (x) 與曲線y=mx2(m>0)公共點的個數(shù)為1;
時,曲線y=f (x) 與曲線y=mx2(m>0)公共點個數(shù)為2.
(Ⅲ) =
=
=,
令g(x)=x+2+(x-2)ex(x>0),則g′(x)=1+(x-1)ex
g′′(x)=xex>0,∴g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且g′(0)=0,
∴g′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
而g(0)=0,∴在(0,+∞)上,有g(x)>g(0)=0.
∵當x>0時,g(x)=x+2+(x-2)•ex>0,且a<b,

即當a<b時,
點評:本題綜合考查了利用導數(shù)研究切線、單調(diào)性、方程得根的個數(shù)、比較兩個實數(shù)的大小等基礎知識,考查了分類討論的思想方法、轉(zhuǎn)化與化歸思想方法,考查了推理能力和計算能力.
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