Question

已知p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0； q：實數(shù)x滿足2＜x≤3．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：（1）先通過解一元二次不等式求出p下的x的取值范圍：a＜x＜3a，a=1時，所以p：1＜x＜3．根據(jù)p∧q為真得p，q都真，所以

1＜x＜3 2＜x≤3

，所以解該不等式組即得x的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，則：

a≤2 3a＞3

，所以解該不等式組即得a的取值范圍．

解答： 解：（1）p：由原不等式得，（x-3a）（x-a）＜0，∵a＞0為，所以a＜x＜3a；
當(dāng)a=1時，得到1＜x＜3；
q：實數(shù)x滿足2＜x≤3；
若p∧q為真，則p真且q真，∴實數(shù)x的取值范圍是：（2，3）；
（2）p是q的必要不充分條件，即由p得不到q，而由q能得到p；
∴

a≤2 3a＞3

，解得1＜a≤2；
∴實數(shù)a的取值范圍是（1，2]．

點評：考查解一元二次不等式，p∧q的真假和p，q真假的關(guān)系，以及充分條件、必要條件、必要不充分條件的概念．