Question

已知函數(shù)f（x）=

|1-x2|

1+|x|

，若方程f（x-1）=a有且僅有三個不同的實根，則實數(shù)a的取值的集合為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先將f（x）表達式進行適當(dāng)?shù)幕�簡，以便于畫出其圖象，注意到這是一個偶函數(shù)，所以只需研究x＞0時解析式，然后畫出x＞0時函數(shù)的圖象即可，最后利用數(shù)形結(jié)合求出方程f（x-1）=a根的個數(shù)，注意到y(tǒng)=f（x-1）圖象由y=f（x）的圖象沿x軸右移1個單位得到，所以平移前后與直線y=a的交點個數(shù)不變，因此y=f（x）的圖象與y=a的交點個數(shù)為3時a的值即為所求．

解答： 解：顯然f（x）是偶函數(shù)，所以當(dāng)x＞0時f(x)=

(x+1)|x-1|

x+1

=|x-1|，且x=0時f（0）=1據(jù)此作出f（x）的圖象如圖：

因為y=f（x-1）圖象是由y=f（x）的圖象沿x軸右移一單位得到，兩函數(shù)圖象與直線y=a的交點個數(shù)不變，所以由y=f（x）的圖象與y=a的圖象可知，當(dāng)a=1時，恰好兩函數(shù)圖象有三個不同交點，所以a=1．
故答案為：{1}

點評：利用函數(shù)思想結(jié)合它們的圖象研究方程根的個數(shù)，范圍問題是高考的重點，一般是先將方程的根看成一個函數(shù)圖象與x軸交點或看成兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標（如本題），再想辦法合理轉(zhuǎn)化函數(shù)，正確畫出圖象，最后據(jù)圖分析求解．