Question

如圖所示，程序框圖的輸出的各數組成數列{a_n}．

（1）求{a_n}的通項公式及前n項和S_n；
（2）已知{b_n}是等差數列，且b₁=a₂，b₃=a₁+a₂+a₃，求數列{a_n•b_n}前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,程序框圖

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由程序框圖知a_n=3a_n-1，a₁=3，判斷出數列{a_n}是a₁=3，q=3的等比數列，代入公式求出通項公式及前n項和S_n；
（2）設公差是d，由（1）和條件列出方程求出d，求出等差數列{b_n}的通項公式，再求出a_n•b_n=（15n-6）•3ⁿ，利用錯位相減法求出數列{a_n•b_n}前n項和T_n．

解答： 解：（1）由程序框圖知a_n=3a_n-1，a₁=3，
則數列{a_n}是a₁=3，q=3的等比數列，…（4分）
∴an=3•3n-1=3n，
Sn=

3(1-3n)

1-3

=

3

2

(3n-1)；…（6分）
（2）設等差數列{b_n}的公差是d，
∵b₁=a₂，b₃=a₁+a₂+a₃，∴

b1=9 b3=3+9+27=39

，
則9+2d=39，解得d=15，
∴b_n=9+（n-1）×15=15n-6，…（8分）
∴a_n•b_n=（15n-6）•3ⁿ，
則Tn=9×31+24×32+39×33+…+(15n-6)×3n
∴3Tn=9×32+24×33+39×34+…+(15n-6)×3n+1…（9分）
兩個式子相減得，-2Tn=27+15(32+33+34+…+3n)-(15n-6)×3n+1
=27+15×

9(1-3n-1)

1-3

-(15n-6)×3n+1
=-

81

2

+(

9

2

-5n)•3n+2，
兩邊除以-2得：Tn=

1

4

[81+(10n-9)•3n+2]…（12分）

點評：本題考查等差（等比）數列的通項公式及前n項和公式，以及錯位相減法求數列的和，這是�？嫉念}型，考查了運算能力．