Question

（本題共12分）

已知函數(shù)，其中且。

    (Ⅰ)討論的單調(diào)性；

(Ⅱ)求函數(shù)在〔，〕上的最小值和最大值。

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，最大值為；

當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，最大值為。

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

（1）主要是對(duì)于，∴ ，參數(shù)a分類討論得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

（2）由(Ⅰ)知在單調(diào)遞減，在在單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，取得最小值

，然后比較大小，構(gòu)造函數(shù)來(lái)完成得到結(jié)論。

解：(Ⅰ) ，∴ 。

         ① 當(dāng)時(shí)，，由可得；由可得

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

②當(dāng)時(shí)，，由可得；由可得

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

綜上可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增�！�……4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在單調(diào)遞減，在在單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，取得最小值

……………………………………………………6分

 ，

設(shè) ，則。

∵（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)）∴在上單調(diào)遞增．

又∵，

∴①當(dāng)時(shí)，，即，

這時(shí)，在上的最大值為；

②當(dāng)時(shí)， ，即

這時(shí)，在上的最大值為。

綜上，當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，最大值為；

當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，最大值為…………12分