Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

xlnx2，g(x)=-x2+|a|x-3．
（1）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）對(duì)一切x∈（0，+∞），f(x)≥

1

2

g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=lnx+1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想能求出函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．
（2）2xlnx≥-x²+|a|x-3，則|a|≤2lnx+x+

3

x

，設(shè)h（x）=2lnx+x+

3

x

，則h′（x）=

2

x

-

3

x2

+1=

(x+3)(x-1)

x2

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)x在區(qū)間[t，t+2]，t＞0時(shí)，
f（x）=

1

2

xlnx2=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1，當(dāng)x∈（0，

1

e

），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（

1

e

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
∵t+2＞

1

e

，
∴①0＜t＜

1

e

＜t+2時(shí)，即0＜t＜

1

e

時(shí)，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；
②

1

e

≤t＜t+2時(shí)，f（x）在區(qū)間[t，t+2]，（t＞0）時(shí)是遞增的，
∴f（x）_min=f（t）=tlnt．
∴f（x）_min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e tlnt，t≥ 1 e

．
（2）2xlnx≥-x²+|a|x-3，
則|a|≤2lnx+x+

3

x

，
設(shè)h（x）=2lnx+x+

3

x

，
則h′（x）=

2

x

-

3

x2

+1=

(x+3)(x-1)

x2

，
x∈（1，+∞），h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
∴h（x）_min=h（1）=4，
∴所求a的范圍是-4≤a≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．