Question

數(shù)列{a_n}首項a₁=1，前n項和S_n與a_n之間滿足an=

2 S 2 n

2Sn-1

(n≥2)．
（1）求證：數(shù)列{

1

Sn

}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)存在正數(shù)k，使(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)≥k

2n+1

對一切n∈N^*都成立，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列的性質(zhì)對其進行變形整理出可以判斷數(shù)列為等差數(shù)列的形式即可．
（2）由（1）先求出S_n，進而可求求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）先構(gòu)造函數(shù)F（n）判斷其單調(diào)性，然后再由F（n）在n∈N^*上遞增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]_min≥k，即可得到結(jié)論．

解答：（1）證明：∵n≥2時，a_n=S_n-S_n-1（1分）
∴S_n-S_n-1=

2 S 2 n

2Sn-1

(n≥2)，
∴S_n-1-S_n=2S_nS_n-1（3分）
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2（n≥2），（5分）
∴數(shù)列{

1

Sn

|是以

1

S1

=1為首項，以2為公差的等差數(shù)列．（6分）
（2）解：由（1）知

1

Sn

=1+（n-1）×2=2n-1，
∴S_n=

1

2n-1

，
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-

2

(2n-1)(2n-3)

∵a₁=S₁=1，
∴a_n=

1，n=1 - 2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

．（10分）
（3）設(shè)F（n）=

(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)

2n+1

，
則

F(n+1)

F(n)

=

2n+2

2n+1 2n+3

=

4n2+8n+4

4n2+8n+3

＞1（12分）
∴F（n）在n∈N^*上遞增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]_min≥k
∵[F（n）]_min=F（1）=

2 3

3

，
∴0＜k≤

2 3

3

，k_max=

2 3

3

．（14分）

點評：本題考查等差數(shù)列通項與前n項和關(guān)系以及數(shù)列與不等式相結(jié)合的有關(guān)問題，（3）中的轉(zhuǎn)化為函數(shù)來判斷單調(diào)性都需要較高的知識組合能力及較高的觀察能力．