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已知二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)a（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集為（-1，2）．
（1）若方程f（x）+3a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值不大于-3a，且函數(shù)在R上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】分析：（1）據(jù)二次不等式的解集與相應(yīng)的二次方程的根的關(guān)系，判斷出-1，2是方程的根，利用韋達(dá)定理列出a，b，c滿足的等式；再利用二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，判別式等于0列出關(guān)于a，b，c的另一個(gè)等式，解方程組求出f（x）的解析式．
（2）通過對二次函數(shù)配方求出其最小值，列出不等式求出a的范圍；求出G（x）的導(dǎo)函數(shù)，令其大于等于0恒成立，求出a的范圍．
解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)為f（x）=ax2+bx+c
∵f（x）＜2x的解集為（-1，2）．
∴-1，2是方程ax2+（b-2）x+c=0的兩個(gè)根
∴
∵方程f（x）+3a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根即
ax2+bx+c+3a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根
∴△=b2-4a（c+3a）=0②
解①②得
∴
（2）根據(jù)題意得
∵a＞0，所以f（x）的最小值為
則
得
由在R上是減函數(shù)，
在R上恒成立
∴
得到，
綜上所述
點(diǎn)評：解決二次不等式的解集問題常轉(zhuǎn)化為二次方程的根問題，利用韋達(dá)定理得到系數(shù)間的關(guān)系；解決函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性已知，求參數(shù)的范圍問題，常求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0（或小于等于0）恒成立．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且滿足f（2）=0，求實(shí)數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)（0，1），且與x軸有唯一的交點(diǎn)（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點(diǎn)是（-1，2），且經(jīng)過原點(diǎn)，求f（x）的解析式．

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同步練習(xí)冊答案
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