Question

如圖，在一條東西方向的海岸線上的點C處有一個原子能研究所，海岸線北側(cè)有一個小島，島上建有一個核電站，該島的一個端點A位于點C的正北方向4

3

km處，另一個端點B位于點A北偏東30°方向，且與點A相距4.5km，研究所擬在點C正東方向海岸線上的P處建立一個核輻射監(jiān)測站．
（1）設(shè)CP=x，∠APB=θ，試將tanθ表示成x的函數(shù)；
（2）若要求在監(jiān)測站P處觀察全島所張的視角最大，問點P應(yīng)選址何處？

Answer 1

分析：（1）分別以直線CP，CA為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，過點B分別作CP，CA的垂線，垂足為D，E．由題設(shè)AB=4.5，AC=4

3

，∠BAE=30°，從而可求出A，B的坐標(biāo)，又點P（x，0），從而可得tanθ表示成x的函數(shù)
（2）令x+4=t，則tanθ=

9 3 t

4t2-41t+400

=

9 3

4(t+ 100 t )-41

(t＞4)，利用基本不等式，可求tanθ的最大值．

解答：解：（1）分別以直線CP，CA為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，過點B分別作CP，CA的垂線，垂足為D，E
由題設(shè)AB=4.5，AC=4

3

，∠BAE=30°，則CD=EB=4.5sin30°=

9

4

，AE=4.5×cos30°=

9 3

4

BD=EC=AE+AC=

25 3

4

∴A(0，4

3

)，B(

9

4

，

25 3

4

)
又點P（x，0），則kPA=-

4 3

x

，kPB=-

25 3

4x-9

(x≠

9

4

)
所以當(dāng)x＞0，且x≠

9

4

時，tanθ=

kPA-kPB

1+kPAkPB

=

9 3 (x+4)

4x2-9x+300

當(dāng)x=

9

4

時，點P與點D重合，tanθ=tan∠CAD=

CD

AC

=

3 3

16

，滿足上式，
所以tanθ=

9 3 (x+4)

4x2-9x+300

(x＞0)
（2）令x+4=t，則tanθ=

9 3 t

4t2-41t+400

=

9 3

4(t+ 100 t )-41

(t＞4)
∵t+

100

t

≥2

t• 100 t

=20，∴tanθ≤

9 3

80-41

=

3 3

13

當(dāng)且僅當(dāng)t=

100

t

＞4，即t=10
∴x=6時取等號，此時tanθ取最大值

3 3

13

，θ取最大值．
答：點P應(yīng)選址在點C正東方向6km處．

點評：本題以實際問題為載體，考查三角函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運用，解題的關(guān)鍵是正確運用差角的正切公式及基本不等式．