Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=x-e^ax（a＞0）．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)x₁，x₂（x₁＜x₂），使得f（x₁）=f（x₂）=0，求a的取值范圍，并證明：$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜ae．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）由f（$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$＞0，解得a＜$\frac{1}{e}$，得到x₁＜$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$＜x₂，求出x₁，x₂，作商即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x-e^ax（a＞0），則f′（x）=1-ae^ax，
令f′（x）=0，則x=$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$，
x，f′（x），f（x）的變化如下：

x	（-∞，$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	遞增	極大值	遞減

故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$），減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$，+∞）；
（Ⅱ） 當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x-e^ax＜0（a＞0），當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）＜0，
若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，只需f（$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$＞0，即a＜$\frac{1}{e}$，
而此時(shí)，f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$-e＞0，由此可得x₁＜$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$＜x₂，
故x₂-x₁＞$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$，即x₁-x₂＜$\frac{1}{a}$（1-ln$\frac{1}{a}$），
又∵f（x₁）=x₁-${e}^{{ax}_{1}}$=0，f（x₂）=x₂-${e}^{{ax}_{2}}$=0，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=${e}^{{ax}_{1}-{ax}_{2}}$＜${e}^{a[\frac{1}{a}（1-ln\frac{1}{a}）]}$=e^lnae=ae．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．