Question

在正三棱錐S-ABC中，M，N分別是SB，SC的中點．若面AMN⊥面SBC，則二面角S-BC-A的平面角的余弦值為________．

Answer 1

分析：如圖，設D為BC中點，則 SD⊥BC，AD⊥SD，∠SDA二面角S-BC-A的平面角． 設底面邊長為2，側(cè)棱長為a，通過解三角形的方法，解得a=，在△SAD中，由余弦定理求出∠SDA 的余弦值．
解答：設D為BC中點，則 SD⊥BC，SD⊥MN，垂足為E，E為MN中點．又面AMN⊥面SBC，則 SE⊥面AMN，SE⊥AE．
又AD⊥SD，∴∠SDA二面角S-BC-A的平面角
設底面邊長為2，側(cè)棱長為a，在△SBC中，SD²=a²-1，SE²=SD²=，ME=MN=．
在△SAB中，由余弦定理，cos∠ASB==，代入數(shù)據(jù)化簡得=，AM²=，
在△SAE中，由勾股定理，得出 SA²=AE²+SE²=AM²-ME²+E²，即a²=-+，解得a²=3，a=
在△SAD中，由余弦定理，cos∠SDA===
故答案為：．
點評：本題考查二面角角的計算，線面垂直，面面垂直的定義，性質(zhì)、判定，考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法．