Question

對于函數(shù)f（x）=

sinx

x

，x∈(-

π

2

，0)∪(0，

π

2

)，對于區(qū)間(-

π

2

，0)∪(0，

π

2

)上的任意實數(shù)x₁，x₂，有如下條件：（1）x₁＞x₂；（2）x₁²＞x₂²；（3）|x₁|＞x₂；（4）x₁+x₂＜0；（5）x₁＞|x₂|，其中能使f（x₁）＜f（x₂）恒成立的條件的序號有

 

．（寫出你認為成立的所有條件序號）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：利用導數(shù)可以判定其單調(diào)性，再判斷出奇偶性，逐項分析可判斷出結論．

解答： 解：f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，
令g（x）=xcosx-sinx，則g′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
當x∈(0，

π

2

)時，g′（x）＜0，g（x）遞減，
∴g（x）＜g（0）=0，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

π

2

）上單調(diào)遞減，
又f（-x）=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，在（-

π

2

，0）上遞增．
（1）x₁＞x₂，f（x₁）＜f（x₂）不成立；
（2）由x₁²＞x₂²，得|x₁|＞|x₂|，∴f（|x₁|）＜f（|x₂|），即f（x₁）＜f（x₂）成立；
（3）|x₁|＞x₂，取x₁=-

1

2

，x₂=-1，則f（x₁）＜f（x₂）不成立；
（4）x₁+x₂＜0，取x₁=-

1

2

，x₂=-1，則f（x₁）＜f（x₂）不成立；
（5）x₁＞|x₂|，即|x₁|＞|x₂|，由（2）知f（x₁）＜f（x₂）成立；
故答案為：②⑤．

點評：熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、判定函數(shù)的奇偶性等是解題的關鍵．