Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為
設(shè)．證明：當(dāng)．

Answer 1

【答案】分析：由已知得，，故，，由錯(cuò)位相減法知．故，問題轉(zhuǎn)化為證明：當(dāng)n≥6時(shí)，n（n+2）＜2ⁿ，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解答：解：由已知得，，
故，（2分）
（3分）
（4分）
兩式相減得，（5分）
化簡(jiǎn)得．故（7分）
因而
問題轉(zhuǎn)化為證明：當(dāng)n≥6時(shí)，n（n+2）＜2ⁿ，（9分）
采用數(shù)學(xué)歸納法．
（1）當(dāng)n=6時(shí)，n（n+2）=6×8=48，2ⁿ=2⁶=64，48＜64，
此時(shí)不等式成立，（10分）
（2）假設(shè)n=k（k≥6）時(shí)不等式成立，即k（k+2）＜2^k，（11分）
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，2^k+1=2×2^k＞2k（k+2）=2k²+4k=k²+4k+k²＞k²+4k+3=（k+1）（k+3）=（k+1）[（k+1）+2]
這說(shuō)明，當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立（13分）
綜上可知，當(dāng)n≥6時(shí)，n（n+2）＜2ⁿ成立，原命題得證．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程．