Question

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇．

(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到30海里/時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由．

Answer 1

解析　(1)設(shè)相遇時小艇航行的距離為S海里，則

S＝

＝＝ .

故當(dāng)t＝時，S_min＝10(海里)，

此時v＝＝30(海里/時)．

即小艇以30海里/時的速度航行相遇時小艇的航行距離最�。�

(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，則v²t²＝400＋900t²－2·20·30t·cos(90°－30°)，

故v²＝900－＋，∵0＜v≤30，∴900－＋≤900，即－≤0，

解得t≥.

又t＝時，v＝30海里/時．

故v＝30海里/時時，t取得最小值，且最小值等于.

此時，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可設(shè)計航行方案如下：

航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇．