Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+c

x2+1

的圖象過(guò)點(diǎn)（-1，-2），且滿足f（-x）+f（x）=0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）若P（x₀，y₀）為函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)，直線l與函數(shù)y=f（x）的圖象切于點(diǎn)P，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出c=0，a=4，得f（x）=

4x

x2+1

，求出f′（x）=

4-4x2

(x2+1)2

，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）通過(guò)對(duì)f′（x）求導(dǎo)，得出f′（x）的最值．從而求出K的范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（-1，-2），
∴f（-1）=

-a+c

2

=-2，
∴a=4+c，
又∵f（-x）+f（x）=0，
∴c=0，a=4
∴f（x）=

4x

x2+1

，
由f′（x）=

4-4x2

(x2+1)2

=0，
解得：x₁=-1，x₂=1
∴f（x）在x₁處取極小值-2； 在x₂處取極大值2，
∴x∈（-∞，-1）U（1，+∞）單調(diào)遞減，x∈[-1，1]單調(diào)遞增；
（2）∵f′（x）=

4-4x2

(x2+1)2

，
∴f″（x）=

8x5-16x3-24x

(x2+1)4

，
令f″（x）=0，解得x₁=-

3

，x₂=0，x₃=

3

，
∴f′（x）在x₁，x₃處取極小值，在x₂處取極大值
f′（0）=4，f′（-

3

）=f′（

3

）=-

1

2

，
∴直線L的斜率k的取值范圍[-

1

2

，4]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．