Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2時取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）當(dāng)c=-2時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=6x²+6ax+3b，

6+6a+3b=0 24+12a+3b=0

，由此能求出a，b的值．
（2）由（1）知，f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值．

解答： （1）解：∵函數(shù)f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c，
∴f′（x）=6x²+6ax+3b，
∵函數(shù)f（x）在x=1及x=2取得極值，∴f′（1）=0，f′（2）=0．
即

6+6a+3b=0 24+12a+3b=0

，
解得a=-3，b=4．…（5分）
（2）解：由（1）知，f（x）=2x³-9x²+12x+8c，
f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（1，2）時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（2，3）時，f′（x）＞0．
∴當(dāng)x=1時，f（x）取得極大值f（1）=5+8c，
又f（0）=8c，f（3）=9+8c．
則當(dāng)x∈[0，3]時，f（x）的最大值為f（3）=9+8c=-7．…（12分）

點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查函數(shù)最值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．