13、銳角△ABC的三高線為AD、BE、CF,垂心為H,求證:HD平分∠EDF.
分析:根據(jù)△ABC的三高線為AD、BE、CF得到AD⊥BC,BE⊥CA,從而得到四邊形一組對角互補,得到四點共圓,根據(jù)同弧所對的圓周角相等,得到兩個角∠ADE=∠ABE,同理∠FBE=∠FCE,∠FCA=∠FDA,等量代換得到∠ADE=∠FDA,結論得證.
解答:證明:由于AD⊥BC,BE⊥CA,
∴點A,B,D,E四點共圓,
∴∠ADE=∠ABE,
又∵點F,B,C,E共圓,
∴∠FBE=∠FCE,
又因點C,A,F(xiàn),D共圓,
∴∠FCA=∠FDA
∴可得∠ADE=∠FDA,即AD平分∠EDF.
點評:本題考查四點共圓,同弧所對的圓周角相等,等量代換等性質,是一個平面幾何的問題,在證明題目時,注意表示角是用三個大寫字母來表示,或者應用一個小寫字母來表示.
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