Question

已知幾何體A-BCDE的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．
（1）若幾何體A-BCDE的體積為16，求實數a的值；
（2）若a=1，求異面直線DE與AB所成角的余弦值；
（3）是否存在實數a，使得二面角A-DE-B的平面角是45°，若存在，請求出a值；若不存在請說明理由．

Answer 1

解：（1）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，
且EC=BC=AC=4，BD=a，
∵幾何體A-BCDE的體積為16，
∴，
解得a=2；
（2）解一：過點B作BF∥ED交EC于F，連接AF，
則∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成角，
在△BAF中，，，
∴；
即異面直線DE與AB所成角的余弦值為．
解二：以C為原點，以CA、CB、CE所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4），
得，，
，
又異面直線DE與AB所成角為銳角，
可得異面直線DE與AB所成角的余弦值為．
（3）以C為原點，以CA、CB、CE所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，a），E（0，0，4），
平面BDE的法向量，
平面ADE的法向量，，，
由，
可得，
，
∵a=4．
此時，與正視圖為直角梯形條件不符，所以舍去，
因此不存在實數a，使得二面角A-DE-B的平面角是45°．
分析：（1）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，由幾何體A-BCDE的體積為16，構造關于a的方程解方程可得答案．
（2）求異面直線所成的角，一般有兩種方法，
解一是幾何法，其基本解題思路是“異面化共面，認定再計算”，即利用平移法和補形法將兩條異面直線轉化到同一個三角形中，結合余弦定理來求．過點B作BF∥ED交EC于F，連接AF，則∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成角；
解二是向量法，以C為原點，以CA、CB、CE所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系分別求出異面直線DE與AB的方向向量代入向量夾角公式，可得答案．
（3）以C為原點，以CA、CB、CE所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面BDE的法向量和平面ADE的法向量根據二面角A-DE-B的平面角是45°，構造關于a的方程，判斷方程是否有解可得答案．
點評：本題考查的知識點是與二面角有關的立體幾何綜合應用，由三視圖求面積，異面直線及其所成的角，難度比較大，熟練掌握幾何法及向量法求夾角的方法和步驟是解答本題的關鍵．