Question

18.某單位有三輛汽車參加某種事故保險(xiǎn).單位年初向保險(xiǎn)公司繳納每輛900元的保險(xiǎn)金.對(duì)在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的每輛汽車,單位可獲9000元的賠償(假設(shè)每輛車最多只賠償一次).設(shè)這三輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的概率分別為、、，且各車是否發(fā)生事故相互獨(dú)立，求一年內(nèi)該單位在此保險(xiǎn)中：

（Ⅰ）獲賠的概率；

（Ⅱ）獲賠金額ξ的分布列與期望.

Answer 1

解：設(shè)A_k表示第k輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故,k=1,2,3,由題意知A₁,A₂,A₃獨(dú)立,且

P(A₁)=,P(A₂)=,P(A₁)= .

(Ⅰ)該單位一年內(nèi)獲賠的概率為

1-P()=1-P()P()P()=1-.

(Ⅱ)ξ的所有可能值為0,9000,18000,27000.

P(ξ=0)=P()=P()P()P()=,

P(ξ=9000)= P()+P(P()+P()

=P(A₁)P()P()+P()P(A₂)P()+P()P()P(A₃)

=

=,

P(ξ=18000)=P(A₁A₂)+ P(A₁A₃)+P(A₂A₃)

=P(A₁)P(A₂)P()+P(A₁)P()P(A₃)+P()P(A₂)P(A₃)

=

=,

P=(ξ=27000)=P(A₁A₂A₃)=P(A₁)P(A₂)P(A₃)

=.

綜上知, ξ的分布列為

ξ	0             9000          18000       27000
P

求ξ的期望有兩種解法:

解法一:由ξ的分布列得

Eξ=0×+9000×+18000×+27000×

   =≈2718.18(元).

解法二:設(shè)ξ_k表示第k輛車一年內(nèi)獲賠金額,k=1,2,3,

則ξ₁有分布列

ξ1	0              9000
P

故Eξ₁=9000×=1000.

同理得Eξ₂=9000×=900,Eξ₃=9000×≈818.18.

綜上有

Eξ=Eξ₁+Eξ₂+Eξ₃=1000+900+818.18=2718.18(元).