Question

已知函數(shù)F（x）=e^x滿足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，若?x∈[1，2]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、(-∞，2

  2

  )
• B、(-∞，2

  2

  ]
• C、(0，2

  2

  ]
• D、(2

  2

  ，+∞)

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出g（x），h（x）的表達式，然后將不等式恒成立進行參數(shù)分離，利用基本不等式進行求解即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，
∴g（x）+h（x）=e^x，
則g（-x）+h（-x）=e^-x，
即g（x）-h（x）=e^-x，
解得g（x）=

ex+e-x

2

，h（x）=

ex-e-x

2

，
則?x∈[1，2]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，
等價為

e2x+e-2x

2

-a?

ex-e-x

2

≥0恒成立，
∴a≤

e2x+e-2x

ex-e-x

=

(ex-e-x)2+2

ex-e-x

=(ex-e-x)+

2

ex-e-x

，
設t=e^x-e^-x，則函數(shù)t=e^x-e^-x在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴e-e^-1≤t≤e²-e^-2，
此時 不等式t+

2

t

≥2

t• 2 t

=2

2

，
∴a≤2

2

，
即實數(shù)a的取值范圍是a≤2

2

，
故選：B．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，以及不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法是解決不等式恒成立問題的基本方法，本題使用了基本不等式進行求解最值，綜合性較強，運算量較大．