已知函數(shù)f(x)=a-
22x+1

(1)若f(x)為奇函數(shù),求實數(shù)a的值;
(2)判斷并證明f(x)的單調(diào)性.
分析:(1)利用奇函數(shù)的性質f(x)+f(-x)=0求a;
(2)函數(shù)y=2x單調(diào)遞增,易判斷f(x)單調(diào)遞增,再利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性.
解答:解:(1)由奇函數(shù)的性質f(x)+f(-x)=0,得a-
2
2x+1
+a-
2
2-x+1
=0
,解得a=1
(2)函數(shù)y=2x單調(diào)遞增,易判斷f(x)在定義域R上單調(diào)遞增,證明如下:
任取x1<x2∈R,f(x1)-f(x2)=a-
2
2x1+1
-(a-
2
2x2+1
)
=2•
2x1-2x2
(2x1+1)(2x2+1)
,∵x1<x2∈R
0<zx12x2
∴f(x1)-f(x2)<0
∴f(x)在定義域R上單調(diào)遞增
點評:本題考察函數(shù)的性質,屬中檔題.(1)考查奇函數(shù)的性質f(x)+f(-x)=0,注意化簡及計算
(2)考查函數(shù)單調(diào)性判斷及利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性,過程要規(guī)范.
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
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34
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(-∞,-2)
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