Question

已知函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

（1）若f（x）為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數(shù)的性質f（x）+f（-x）=0求a；
（2）函數(shù)y=2^x單調(diào)遞增，易判斷f（x）單調(diào)遞增，再利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（1）由奇函數(shù)的性質f（x）+f（-x）=0，得a-

2

2x+1

+a-

2

2-x+1

=0，解得a=1
（2）函數(shù)y=2^x單調(diào)遞增，易判斷f（x）在定義域R上單調(diào)遞增，證明如下：
任取x₁＜x₂∈R，f(x1)-f(x2)=a-

2

2x1+1

-(a-

2

2x2+1

)=2•

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，∵x_1＜x₂∈R
∴0＜zx1＜2x2
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）在定義域R上單調(diào)遞增

點評：本題考察函數(shù)的性質，屬中檔題．（1）考查奇函數(shù)的性質f（x）+f（-x）=0，注意化簡及計算
（2）考查函數(shù)單調(diào)性判斷及利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，過程要規(guī)范．