Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1 4x ，x∈[0， 1 2 ] -x+1，x∈( 1 2 ，1]

g（x）=asin（

π

6

x）-a+2（a＞0），若存在x₁，x₂∈[0，1]，使f（x₁）=g（x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)給出的函數(shù)f（x）的解析式求出其值域為，然后求出函數(shù)g（x）在x∈[0，1]上的值域，由存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，說明函數(shù)g（x）的最值中至少一個在[0，1]范圍內(nèi)，最后列式求解a的范圍．

解答： 解：當(dāng)x∈[0，

1

2

]時，函數(shù)f（x）在區(qū)間上為減函數(shù)，所以f（x）∈[

1

2

，1]，
當(dāng)x∈（

1

2

，1]時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，f（x）∈[0，

1

2

]，
所以f（x）在[0，1]上f（x）∈[0，1]，
函數(shù)g（x）=asin（

π

6

x）-a+2（a＞0），當(dāng)x∈[0，1]時，sin（

π

6

x）∈[0，

1

2

]，
所以g（x）∈[2-a，2-

a

2

]．
若存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，說明函數(shù)函數(shù)g（x）的最大值與最小值中至少一個在[0，1]中，
所以0≤2-a≤1或0≤2-

a

2

≤1
解得：1≤a≤4，
所以實數(shù)a的取值范圍是[1，4]．
故答案為：[1，4]．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點及函數(shù)的零點存在性定理，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，本題把函數(shù)的零點的研究轉(zhuǎn)化為元素與集合之間的關(guān)系問題．