Question

已知函數(shù)處取得極值.

   （1）求實(shí)數(shù)a的值，并判斷上的單調(diào)性；

   （2）若數(shù)列滿(mǎn)足；

   （3）在（2）的條件下，

記

求證：

Answer 1

（1）1 在上是增函數(shù).（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

解析:

（1）

由題知，即a-1=0，∴a=1.

則

∵x≥0，∴≥0，≥0，又∵＞0，∴x≥0時(shí)，≥0，

∴在上是增函數(shù).

（Ⅱ）由（Ⅰ）知∴

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明＞0.①當(dāng)n=1時(shí)，=1＞0成立；

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，＞0,∵在上是增函數(shù)，

∴＞∴＞0成立，綜上當(dāng)時(shí)，＞0.

又∵＞0,1+＞1,∴＞0,∵＞0,

∴＜，

而=1,∴≤1，綜上，0＜≤1.（3）∵0＜＜≤1，

∴＜,∴＜,∴＜,

∴＞＞0,

∴=·…＜·……  =ⁿ.

∴S_n＝++…+

＜+()²+…+()ⁿ

＝＜==1.

∴S_n＜1.