Question

（（本小題滿分14分）
已知圓,點(diǎn),點(diǎn)在圓運(yùn)動,垂直平分線交于點(diǎn)．
（Ⅰ）求動點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅱ）設(shè)是曲線上的兩個不同點(diǎn),且點(diǎn)在第一象限,點(diǎn)在第三象限,若
,為坐標(biāo)原點(diǎn),求直線的斜率；
（Ⅲ）過點(diǎn)且斜率為的動直線交曲線于兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使以為直徑的圓恒過這個點(diǎn)？若存在,求出的坐標(biāo),若不存在,說明理由．

Answer 1

解: （Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172310203268.gif" style="vertical-align:middle;" />的垂直平分線交 于點(diǎn)．所以

所以動點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓……………3分
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
則，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為……5分
（Ⅱ）設(shè)，則    ①
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172310500661.gif" style="vertical-align:middle;" />，則    ②
由①②解得……………8分
所以直線的斜率……………10分
（Ⅲ）直線方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得:
  得…………11分
由題意知：點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以直線與橢圓必交與兩點(diǎn)，
設(shè)則
假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，滿足題設(shè)，則
因?yàn)橐?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172311233235.gif" style="vertical-align:middle;" />為直徑的圓恒過點(diǎn),
則，即: （*）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172312871682.gif" style="vertical-align:middle;" />
則（*）變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231723129331396.gif" style="vertical-align:middle;" />…………12分



由假設(shè)得對于任意的,恒成立，
即解得．
因此，在軸上存在滿足條件的定點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．………………14分

略