Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁＝1，a₂＝3，且a_n+1＝a_n＋2a_n－1(n≥2)．

(1)設(shè)b_n＝a_n+1＋λa_n，是否存在實(shí)數(shù)λ，使數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．若存在，求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；

(2)求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

答案：
解析：

(1)方法1：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列為等比數(shù)列， 　　則有．①；1分 　　由，，且，得，． 　　所以，，，2分 　　所以， 　　解得或；3分 　　當(dāng)時(shí)，，，且， 　　有；4分 　　當(dāng)時(shí)，，，且， 　　有；5分 　　所以存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列為等比數(shù)列． 　　當(dāng)時(shí)，數(shù)列為首項(xiàng)是、公比是的等比數(shù)列； 　　當(dāng)時(shí)，數(shù)列為首項(xiàng)是、公比是的等比數(shù)列；6分 　　方法2：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列為等比數(shù)列， 　　設(shè)，1分 　　即，2分 　　即；3分 　　與已知比較，令；4分 　　解得或；5分 　　所以存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列為等比數(shù)列． 　　當(dāng)時(shí)，數(shù)列為首項(xiàng)是、公比是的等比數(shù)列； 　　當(dāng)時(shí)，數(shù)列為首項(xiàng)是、公比是的等比數(shù)列．6分 　　(2)解法1：由(1)知，7分 　　當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；8分 　　；9分 　　；10分 　　當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；11分 　　；12分 　　；13分 　　故數(shù)列的前項(xiàng)和；14分 　　注：若將上述和式合并，即得． 　　解法2：由(1)知，7分 　　所以，8分 　　當(dāng)時(shí)， 　　 　　． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4810/0020/3bcb4013dbd5802ce6d12b1e73ab66f3/C/Image292.gif" width=46 height=41>也適合上式，10分 　　所以． 　　所以；11分 　　則，12分 　　；13分 　　．14分 　　解法3：由(1)可知，；7分 　　所以．8分 　　則，9分 　　當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；10分 　　；11分 　　當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；12分 　　；13分 　　故數(shù)列的前項(xiàng)和；14分 　　注：若將上述和式合并，即得．