Question

已知f（x）=|x-1|-|2x+3|．
（1）f（x）≤a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）對于任意非零實數(shù)m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|f（x）恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用分區(qū)間討論法去掉絕對值符號，研究函數(shù)在每個區(qū)間上的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的最大值，即可確定實數(shù)a的取值范圍
（2）先分離出f（x），再求出

|2m-1|+|1-m|

|m|

的最小值1，然后解不等式≤1即可．

解答：解：（1）當x＜-

3

2

時，f（x）=1-x+2x+3=4+x，f（x）≤f（-

3

2

）=

5

2

當-

3

2

≤x≤1時，f（x）=1-x-（2x+3）=-3x-2，f（1）=-5≤f（x）≤f（-

3

2

）=

5

2

當x＞1時，f（x）=-（1-x）-（2x+3）=-x-4，f（x）＜f（1）=-5
函數(shù)f（x）的最大值為

5

2

，要使不等式恒成立，只需a≥

5

2

，即實數(shù)a的取值范圍為[

5

2

，+∞）
不等式恒成立，即|x-1|-|2x+3|≤

|2m-1|+|1-m|

|m|

恒成立．
因為

|2m-1|+|1-m|

|m|

≥

|2m-1+1-m|

|m|

=1，
所以只需|x-1|-|2x+3|≤1
①當x＜-

3

2

時，原不等式可以化為1-x+2x+3≤1，解得x≤-3
②當-

3

2

≤x≤1時，原不等式可以化為1-x-（2x+3）≤1，解得-1≤x≤1，
③當x＞1時，原不等式可以化為-x-4≤1，解得x＞1
綜上所述，x的取值范圍是（-∞，-3]∪[-1，+∞）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，不等式恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化計算、分類討論的思想方法．