已知點
(
,
是常數(shù)),且動點
到
軸的距離比到點
的距離小
.
(1)求動點
的軌跡
的方程;
(2)(i)已知點
,若曲線
上存在不同兩點
、
滿足
,求實數(shù)
的取值范圍;
(ii)當
時,拋物線
上是否存在異于
、
的點
,使得經(jīng)過
、
、
三點的圓和拋物線
在點
處有相同的切線,若存在,求出點
的坐標,若不存在,請說明理由.
(1)動點
的軌跡
的方程為
;(2)(i)實數(shù)
的取值范圍是
;
(ii)詳見解析.
試題分析:(1)首先由題意得到動點
到直線
和動點
到點
的距離相等,從而得到動點
的軌跡是以點
為焦點,以直線
為準線的拋物線,從而求出軌跡
的方程;(2)(i)先由
得到點
為線段
的中點,并設(shè)點
,從而得到
,并設(shè)直線
的方程為
,與拋物線的方程聯(lián)立,結(jié)合
與韋達定理在
中消去
,從而求解參數(shù)
的取值范圍;(ii)先假設(shè)點
存在,先利用(i)中的條件求出點
、
兩點的坐標,并設(shè)點
的坐標為
,設(shè)圓的圓心坐標為
,利用
、
、
三點為圓
上的點,得到
及
,利用兩點間的距離公式得到方程組,在方程組得到
、
與
的關(guān)系式,然后利用導數(shù)求出拋物線
在點
的切線的斜率,利用切線與圓
的半徑
垂直,得到兩直線斜率之間的關(guān)系,進而求出
的值,從而求出點
的坐標.
試題解析:(1)
;
(2)(i)設(shè)
,
兩點的坐標為
,且
,
∵
,可得
為
的中點,即
.
顯然直線
與
軸不垂直,設(shè)直線
的方程為
,即
,
將
代入
中,得
. 2分
∴
∴
. 故
的取值范圍為
.
(ii)當
時,由(i)求得
,
的坐標分別為
假設(shè)拋物線
上存在點
(
且
),使得經(jīng)過
、
、
三點的圓和拋物線
在點
處有相同的切線.設(shè)圓的圓心坐標為
,
∵
∴
即
解得
∵拋物線
在點
處切線的斜率為
,而
,且該切線與
垂直,
∴
.即
.
將
,
代入上式,得
.
即
.∵
且
,∴
.
故滿足題設(shè)的點
存在,其坐標為
.
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
橢圓
與雙曲線
有公共的焦點,過橢圓E的右頂點作任意直線l,設(shè)直線l交拋物線
于M、N兩點,且
.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點,點P關(guān)于原點O的對稱點為A、關(guān)于x軸的對稱點為Q,線段PQ與x軸相交于點C,點D為CQ的中點,若直線AD與橢圓E的另一個交點為B,試判斷直線PA,PB是否相互垂直?并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
的方程為
,雙曲線
的左、右焦點分別為
的左、右頂點,而
的左、右頂點分別是
的左、右焦點。
(1)求雙曲線
的方程;
(2)若直線
與橢圓
及雙曲線
都恒有兩個不同的交點,且L與的兩個焦點A和B滿足
(其中O為原點),求
的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖所示,已知圓
為圓上一動點,點
是線段
的垂直平分線與直線
的交點.
(1)求點
的軌跡曲線
的方程;
(2)設(shè)點
是曲線
上任意一點,寫出曲線
在點
處的切線
的方程;(不要求證明)
(3)直線
過切點
與直線
垂直,點
關(guān)于直線
的對稱點為
,證明:直線
恒過一定點,并求定點的坐標.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
的左、右焦點分別是
、
,
是橢圓右準線上的一點,線段
的垂直平分線過點
.又直線
:
按向量
平移后的直線是
,直線
:
按向量
平移后的直線是
(其中
)。
(1) 求橢圓的離心率
的取值范圍。
(2)當離心率
最小且
時,求橢圓的方程。
(3)若直線
與
相交于(2)中所求得的橢圓內(nèi)的一點
,且
與這個橢圓交于
、
兩點,
與這個橢圓交于
、
兩點。求四邊形ABCD面積
的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知
、
分別是橢圓
的左、右焦點,右焦點
到上頂點的距離為2,若
.
(Ⅰ)求此橢圓的方程;
(Ⅱ)點
是橢圓的右頂點,直線
與橢圓交于
、
兩點(
在第一象限內(nèi)),又
、
是此橢圓上兩點,并且滿足
,求證:向量
與
共線.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知雙曲線
,
、
是雙曲線的左右頂點,
是雙曲線上除兩頂點外的一點,直線
與直線
的斜率之積是
,
求雙曲線的離心率;
若該雙曲線的焦點到漸近線的距離是
,求雙曲線的方程.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)橢圓C:
過點(0,4),離心率為
(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)求過點(3,0)且斜率為
的直線被C所截線段的長度.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
如圖,
是雙曲線
:
與橢圓
的公共焦點,點A是
在第一象限的公共點.若
,則
的離心率是( )
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